Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a

2

x2+bx-lnx，其中a，b∈R．
（Ⅰ）設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=2x-3，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）當(dāng)a≥0時(shí)，討論f（x）在其定義域上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f′(x)=

ax2+bx-1

x

，由題意得f(1)=

a

2

+b=-1，f′（1）=a+b-1=2．解出即可；
（Ⅱ）對(duì)a，b分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由f(x)=

a

2

x2+bx-lnx，x∈(0，+∞)，
得f′(x)=

ax2+bx-1

x

．
由題意得f(1)=

a

2

+b=-1，f'（1）=a+b-1=2．
解得a=8，b=-5． 

（Ⅱ）由f′(x)=

ax2+bx-1

x

，x∈（0，+∞）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=

bx-1

x

．
①若b≤0，當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．
②若b＞0，當(dāng)0＜x＜

1

b

時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞

1

b

時(shí)，f′（x）＞0．
∴f（x）在(0，

1

b

)內(nèi)單調(diào)遞減，在(

1

b

，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增．
（ 2）當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，得ax²+bx-1=0，
∵△=b²+4a＞0，解得x1=

-b- b2+4a

2a

，x2=

-b+ b2+4a

2a

，（x₁＜0，x₂＞0）．
當(dāng)0＜x＜x₂時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x＞x₂時(shí)，f'（x）＞0．
∴f（x）在（0，x₂）內(nèi)單調(diào)遞減，在（x₂，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
綜上所述：當(dāng)a=0，b≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
當(dāng)a=0，b＞0時(shí)，f（x）在(0，

1

b

)內(nèi)單調(diào)遞減，在(

1

b

，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在(0，

-b+ b2+4a

2a

)內(nèi)單調(diào)遞減，在(

-b+ b2+4a

2a

，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、一元二次方程與一元二次不等式的解法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．