Question

設(shè)直線x=m與函數(shù)f（x）=2x²，g（x）=lnx的圖象分別交于點M，N，|MN|取最小值時，m的值為

 

．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：兩個函數(shù)作差，得到函數(shù)y=f（x）-g（x），再求此函數(shù)的最小值，即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)函數(shù)y=f（x）-g（x）=2x²-lnx（x＞0），求導(dǎo)數(shù)得y′=4x-

1

x

=

4x2-1

x

（x＞0），
令y′＜0，∵x＞0，∴0＜x＜

1

2

，∴函數(shù)在（0，

1

2

）上為單調(diào)減函數(shù)，
令y′＞0，∵x＞0，∴x＞

1

2

，∴函數(shù)在（

1

2

，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，
∴x=

1

2

時，函數(shù)取得最小值為2×(

1

2

)2-ln

1

2

=

1

2

+ln2，
即|MN|的最小值為

1

2

+ln2．
此時m=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值．