Question

14．若x₁，x₂是方程4x²-4mx+（m-1）²+2=0的兩個實根，則x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$的最小值為$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 根據(jù)韋達(dá)定理可得x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}$m²+m-$\frac{3}{2}$，結(jié)合△≥0求出m的范圍，再由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案．

解答 解：若x₁，x₂是方程4x²-4mx+（m-1）²+2=0的兩個實根，
則x₁+x₂=m，x₁•x₂=$\frac{（m-1）^{2}+2}{4}$，
∴x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=m²-$\frac{{（m-1）}^{2}+2}{2}$=$\frac{1}{2}$m²+m-$\frac{3}{2}$，
由△=16m²-16[（m-1）²+2]≥0得：m≥$\frac{3}{2}$，
故當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時，x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$的最小值為$\frac{9}{8}$，
故答案為：$\frac{9}{8}$．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．