Question

9．求證：x⁸-x⁵+x²-x+1＞0．

Answer 1

分析 設f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1，根據指數函數的單調性，分別討論x≥0和x＜0時函數值的取值情況，即可得證．

解答 證明：設f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1，
當x=0時，f（x）=1；
當x＞1，根據指數函數的性質可知x⁸＞x⁵，x²＞x，即x⁸-x⁵＞0，x²-x＞0，
則f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1＞1；
當x=1時，f（x）=1；
若0＜x＜1，x²＞x⁵，1-x＞0，
即f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1=x⁸+（x²-x⁵）+1-x＞0；
當x＜0，則x⁸＞0，-x⁵＞0，x²＞0，-x＞0，
則f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1＞1＞0．
綜上可得，?x∈R，f（x）＞0成立．
即x⁸-x⁵+x²-x+1＞0成立．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用函數的性質，利用分類討論的數學思想是解決本題的關鍵，屬于中檔題．