Question

5．已知a＞0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax²-2bx-a+b．
（1）證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，（i）函數(shù)f（x）的最大值為|2a-b|+a；
                                     （ii）f（x）+|2a-b|+a≥0；
（2）若-1≤f（x）≤1對(duì)任意x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出二次函數(shù)的對(duì)稱性，討論對(duì)稱性和$\frac{1}{2}$的關(guān)系進(jìn)行求解就可．
（2）根據(jù)不等式恒成立轉(zhuǎn)化為不等式組關(guān)系，利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解．

解答 解：（1）（i）∵a＞0，b∈R，
∴拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱性x=$\frac{4a}$，
當(dāng)$\frac{4a}$≤$\frac{1}{2}$，即b≤2a時(shí)，f（x）_max=f（1）=3a-
當(dāng)$\frac{4a}$＞$\frac{1}{2}$，即b＞2a時(shí)，f（x）_max=f（0）=-a+b，
則f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{3a-b，}&{b≤2a}\\{-a+b，}&{b＞2a}\end{array}\right.$=|2a-b|+a；
（ii）當(dāng)b≤2a時(shí)，f（x）+|2a-b|+a=4ax²-2bx+2a≥4ax²-4ax+2a=2a（2x²-2x+1）；
$\begin{array}{l}當(dāng)b＞2a時(shí)，f（x）+|2a-b|+a=4a{x^2}+2b（1-x）-2a≥4a{x^2}+4a（1-x）-2a=2a（2{x^2}-2x+1），\\ 令g（x）=2{x^2}-2x+1=2{（x-\frac{1}{2}）^2}+\frac{1}{2}＞0，故f（x）+|2a-b|+a≥2a•g（x）≥0\end{array}$
（2）由（i）知，當(dāng)0≤x≤1，f（x）_max=|2a-b|+a，
∴f（x）_max=|2a-b|+a≤1；若|2a-b|+a≤1；
則由（ii）知f（x）≥-（|2a-b|+a）≥-1；            …（10分）
則-1≤f（x）≤1對(duì)任意x∈[0，1]恒成立的等價(jià)條件是$\left\{\begin{array}{l}{|2a-b|+a≤1}\\{a＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2a-b≥0}\\{3a-b≤1}\\{a＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{2a-b＜0}\\{b-a≤1}\\{a＞0}\end{array}\right.$（•）   …（12分）
在直角坐標(biāo)系aob 中，（*）所表示的平面區(qū)域?yàn)橄聢D，所以a+b的范圍是（-1，3]…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，涉及一元二次函數(shù)的性質(zhì)故，根據(jù)條件關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．