Question

已知函數f（x）=cos²x+1，g（x）=sinx
（1）求h（x）=

g(x)-1

f(x)-2

，x∈（0，

π

6

）的值域
（2）若x∈[0，

π

2

]時，h（x）=f（x）-2m²g（x）的最小值為

1

2

，求實數m的值．

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：三角函數的求值

分析：（1）表示出h（x）=

g(x)-1

f(x)-2

，利用正弦函數的值域，結合二次函數求解x∈（0，

π

6

）的值域
（2）若x∈[0，

π

2

]時，化簡h（x）=f（x）-2m²g（x）的表達式，通過函數的最小值為

1

2

，即可求實數m的值．

解答： 解：（1）h（x）=

g(x)-1

f(x)-2

=

sinx-1

cos2x-1

=

sinx-1

-sin2x

=-

1

sinx

+(

1

sinx

)2…（3分）
設t=

1

sinx

，∵sinx∈(0，

1

2

)∴t∈(2，+∞)…（4分）．
h（t）=t²-t在（2，+∞）為遞增函數，
故h（t）＞2²-2=2…（6分）
所以h（x）的值域為（2，+∞）…（8分）
（2）I（x）=cos²x+1-2m²sinx
=-sin²x-2m²sinx+2
=-（sinx+m²）²+m⁴+2 …（10分）
又x∈[0，

π

2

]則sinx∈[0，1]
當0≤m2＜

1

2

時，I（x）的最小值I(

π

2

)=-(1+m2)2+m4+2=

1

2

．
∴m2=

1

4

，∴m=±

1

2

…（12分）
當m2≥

1

2

時，I（x）的最小值f(0)=-(0+m2)2+m4+2=

1

2

．∴m無解
綜上，m=±

1

2

…（14分）

點評：本題看三角函數的化簡求值函數的最值的求法，考查計算能力．