已知雙曲線的中心在原點O,其中一條準線方程為,且與橢圓有共同的焦點.
(1)求此雙曲線的標準方程;
(2)(普通中學學生做)設(shè)直線L:y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點,試問:是否存在實數(shù)k,使得以弦AB為直徑的圓過點O?若存在,求出k的值,若不存在,請說明理由.
(重點中學學生做)設(shè)直線L:y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點,C是直線L1:y=mx+6上任一點(A、B、C三點不共線)試問:是否存在實數(shù)k,使得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形?若存在,求出k的值,若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)由已知得:,則a2=3,b2=9,從而可求雙曲線的標準方程;
(2)(普通中學學生做)將y=kx+3代入得(3-k2)x2-6kx-18=0,從而可得k的范圍.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩個根,由題意知:OA⊥OB,則x1x2+y1y2=0,從而可求滿足條件的實數(shù)k;
(重點中學學生做)將y=kx+3代入得(3-k2)x2-6kx-18=0,從而可得k的范圍.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩個根,由題意知:A、B兩點關(guān)于直線L1對稱,從而可求則AB的中點D的坐標,并滿足直線L1的方程,故可求滿足條件的實數(shù)k.
解答:解:(1)由已知得:,則a2=3,b2=9,
因此所求雙曲線的標準方程為.---(4分)
(2)(普通中學學生做)
將y=kx+3代入得(3-k2)x2-6kx-18=0,
則由3-k2≠0,△=216-36k2>0得:,---(7分)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩個根,
由題意知:OA⊥OB,則x1x2+y1y2=0,---(9分)
又y1=kx1+3,y2=kx2+3,
,即k=±1滿足條件.---(12分)
(重點中學學生做)
將y=kx+3代入得(3-k2)x2-6kx-18=0,
則由3-k2≠0,△=216-36k2>0得:,---(7分)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩個根,
由題意知:A、B兩點關(guān)于直線L1對稱,---(9分)
則AB的中點D的坐標為,
并滿足直線L1的方程,則k=±1滿足條件.---(12分)
點評:本題以橢圓的標準方程為載體,考查雙曲線的標準方程,考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,解題的關(guān)鍵是將問題進行等價轉(zhuǎn)化.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知雙曲線的中心在原點O,右焦點為F(c,0),P是雙曲線右支上一點,且△OEP的面積為
6
2
.

(Ⅰ)若點P的坐標為(2,
3
)
,求此雙曲線的離心率;
(Ⅱ)若
OF
FP
=(
6
3
-1)c2
,當|
OP
|
取得最小值時,求此雙曲線的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知雙曲線的中心在原點O,其中一條準線方程為x=
3
2
,且與橢圓
x2
25
+
y2
13
=1
有共同的焦點.
(1)求此雙曲線的標準方程;
(2)(普通中學學生做)設(shè)直線L:y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點,試問:是否存在實數(shù)k,使得以弦AB為直徑的圓過點O?若存在,求出k的值,若不存在,請說明理由.
(重點中學學生做)設(shè)直線L:y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點,C是直線L1:y=mx+6上任一點(A、B、C三點不共線)試問:是否存在實數(shù)k,使得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形?若存在,求出k的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(07年朝陽區(qū)一模)(14分)  已知雙曲線的中心在原點O,右焦點為Fc,0),P是雙曲線右支上一點,且△OEP的面積為

   (Ⅰ)若點P的坐標為,求此雙曲線的離心率;

   (Ⅱ)若,當取得最小值時,求此雙曲線的方程.

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已知雙曲線的中心在原點O,右焦點為F(c,0),P是雙曲線右支上一點,且△OEP的面積為
(Ⅰ)若點P的坐標為,求此雙曲線的離心率;
(Ⅱ)若,當取得最小值時,求此雙曲線的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源:2007年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學一模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知雙曲線的中心在原點O,右焦點為F(c,0),P是雙曲線右支上一點,且△OEP的面積為
(Ⅰ)若點P的坐標為,求此雙曲線的離心率;
(Ⅱ)若,當取得最小值時,求此雙曲線的方程.

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