Question

9．在數列{a_n}中，a₁=1，點$（\frac{1}{a_n}，\frac{1}{{{a_{n+1}}}}）$在函數f（x）=x+3的圖象上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=（-1）ⁿ$\frac{1}{a_n}$，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過將點代入函數方程f（x）=x+3，變形可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，即可得到{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項，3為公差的等差數列，問題得以解決，
（2）b_n=（-1）ⁿ$\frac{1}{a_n}$=（-1）ⁿ（3n-2），得到S_n=-1+4-7+10+…+（-1）ⁿ（3n-2），分n為偶數或n為奇數求出和．

解答 解：（1）∵點$（\frac{1}{a_n}，\frac{1}{{{a_{n+1}}}}）$在函數f（x）=x+3的圖象上，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，
又a₁=1，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項，3為公差的等差數列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，
∴a_n=$\frac{1}{3n-2}$，
（2）b_n=（-1）ⁿ$\frac{1}{a_n}$=（-1）ⁿ（3n-2），
∴S_n=-1+4-7+10+…+（-1）ⁿ（3n-2），
當n為偶數時，S_n=（-1+4）+（-7+10）+…+（-1）ⁿ（3n-2）=3•$\frac{n}{2}$=$\frac{3n}{2}$，
當n為奇數時，S_n=-1+（4-7）+（10-13）+…+（-1）ⁿ（3n-2）=-1-3$•\frac{n-1}{2}$=$\frac{1-3n}{2}$
綜上所述S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3n}{2}，n為偶數}\\{\frac{1-3n}{2}，n為奇數}\end{array}\right.$

點評 本題考查等差數列的判定及求數列的和，對表達式的靈活變形及并項相加是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．