Question

9．如圖，已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，長軸長為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)動直線l₁：y=kx+m與橢圓C有且只有一個公共點P，過右焦點F作直線l₂與直線l₁交與點Q，且$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{FQ}$=0．求證：點Q在定直線上，并求出定直線方程．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出b，即可得到橢圓方程．
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y，利用判別式求出m，k的關(guān)系，求出P的坐標(biāo)，求出直線的斜率，得到直線方程，求解交點坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）由橢圓的離心率$e=\frac{1}{2}$，長軸長為4可知a=2，c=1，
所以b²=3，∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（5分）
（2）由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，得方程（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0（*）…（6分）
由直線與橢圓相切，得m≠0，且△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=0整理得；4k²-m²+3=0，將4k²+3=m²代入（*）式，得m²x²+8kmx+16k²=0，
即（mx+4k）²=0，解得$x=-\frac{4k}{m}$，∴$P（{-\frac{4k}{m}，\frac{3}{m}}）$，…（8分）
又F（1，0），①當(dāng)4k+m=0即m=-4k，∴Q（4，0）②，
②當(dāng)4k+m≠0時，∴${k_{PF}}=\frac{{\frac{3}{m}}}{{-\frac{4k}{m}-1}}=-\frac{3}{4k+m}$，則${k_{QF}}=\frac{4k+m}{3}$，…（9分）
∴直線FQ方程為$y=\frac{4k+m}{3}（{x-1}）$，
聯(lián)立方程組$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{y=\frac{4k+m}{3}（{x-1}）}\end{array}}\right.$，得x=4，
∴點Q在定直線x=4上…（12分）

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．