Question

5．如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等邊三角形，側(cè)面BB₁C₁C是菱形，∠B₁BC=60°．
（Ⅰ）求證：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）若AB=2，AB₁=$\sqrt{6}$，求二面角C-AB₁-C₁（銳角）的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出△BB₁C是等邊三角形，取BC的中點(diǎn)為O，則BC⊥OB₁，由△ABC是等邊三角形，得BC⊥OA，從而BC⊥平面AOB₁，由此能證明BC⊥AB₁．
（Ⅱ）分別以O(shè)A，OB，OB₁所在的直線作為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C-AB₁-C₁（銳角）的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵四邊形BB₁C₁C是菱形，∠CBB₁=60°，
∴△BB₁C是等邊三角形，
取BC的中點(diǎn)為O，連結(jié)OA，OB，則BC⊥OB₁，
又∵△ABC是等邊三角形，∴BC⊥OA，
∵OA∩OB₁，∴BC⊥平面AOB₁，
∵AB₁?平面AOB₁，∴BC⊥AB₁．
解：（Ⅱ）∵△ABC和△BB₁C是全等的等邊三角形，AB=2，
∴OA=OB₁=$\sqrt{3}$，
又∵AB₁=$\sqrt{6}$，∴$A{{B}_{1}}^{2}=O{A}^{2}+O{{B}_{1}}^{2}$，∴OB₁⊥OA，
又∵OB₁⊥BC，∴OB₁⊥平面ABC，
分別以O(shè)A，OB，OB₁所在的直線作為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（$\sqrt{3}，0，0$），B（0，1，0），C（0，-1，0），
$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（0，-1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-$\sqrt{3}，-2，\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（0，-2，0），$\overrightarrow{AC}$=（-$\sqrt{3}$，-1，0），
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面C₁AB₁的一個(gè)法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=-\sqrt{3}x-2y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}=2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，1），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（a，b，c）是平面CAB₁的一個(gè)法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-\sqrt{3}a-b=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}C}=-b-\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，1），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴二面角C-AB₁-C₁（銳角）的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．