Question

9．拋物線焦點(diǎn)在y軸上，且y=x+1被拋物線截得的弦長為5，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為${x}^{2}=\frac{-4+\sqrt{66}}{2}y$或${x}^{2}=\frac{-4-\sqrt{66}}{2}y$．

Answer 1

分析 由題意設(shè)拋物線方程為x²=my（m≠0），聯(lián)立直線方程和拋物線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到弦的兩個(gè)端點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，代入弦長公式求得m值，則答案可求．

解答 解：由題意設(shè)拋物線方程為x²=my（m≠0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=my}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，得x²-mx-m=0．
設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=m，x₁x₂=-m，
∴|AB|=$\sqrt{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}+4m}=5$，
解得：$m=\frac{-4±\sqrt{66}}{2}$．
當(dāng)m=$\frac{-4+\sqrt{66}}{2}$時(shí)，拋物線方程為${x}^{2}=\frac{-4+\sqrt{66}}{2}y$；
當(dāng)m=$\frac{-4-\sqrt{66}}{2}$時(shí)，拋物線方程為${x}^{2}=\frac{-4-\sqrt{66}}{2}y$．
故答案為：${x}^{2}=\frac{-4+\sqrt{66}}{2}y$或${x}^{2}=\frac{-4-\sqrt{66}}{2}y$．

點(diǎn)評 本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，訓(xùn)練了弦長公式的應(yīng)用，是中檔題．