Question

14．已知$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角為$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|，設(shè)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為θ，則tanθ=（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． -1
• D． -$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 作出圖形，將問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題．

解答 解：如圖，設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，則∠COA=$\frac{π}{3}$，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OADB，
則$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=-$\overrightarrow{c}$，∠ODB=∠AOD=$\frac{2π}{3}$．BD=OA，OB=$\sqrt{3}$OA．
在△OBD中，由正弦定理得：$\frac{OB}{sin∠ODB}=\frac{BD}{sin∠BOD}$，∴$\frac{\sqrt{3}OA}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{OA}{sin∠BOD}$，
解得sin∠BOD=$\frac{1}{2}$，∴∠BOD=$\frac{π}{6}$．∴θ=∠BOD+∠AOD=$\frac{π}{6}+\frac{2π}{3}$=$\frac{5π}{6}$．∴tanθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量加法的幾何意義，屬于中檔題．