已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點為F(1,0),且點(-1,)在橢圓C上.
(1)求橢圓C的標準方程.
(2)已知點Q(,0),動直線l過點F,且直線l與橢圓C交于A,B兩點,證明:·為定值.
(1) +y2=1   (2)見解析
(1)由題意知:c=1.
根據(jù)橢圓的定義得:2a=+,
即a=,所以b2=2-1=1,
所以橢圓C的標準方程為+y2=1.
(2)當直線l的斜率為0時,A(,0),B(-,0),
則·=(-,0)·(--,0)=-.
當直線l的斜率不為0時,設直線l的方程為
x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).
由可得(t2+2)y2+2ty-1=0.
顯然Δ>0.所以
因為x1=ty1+1,x2=ty2+1,
所以·=(x1-,y1)·(x2-,y2)
=(ty1-)(ty2-)+y1y2
=(t2+1)y1y2-t(y1+y2)+
=-(t2+1)·+t·+
=+=-.
即·=-,為定值.
練習冊系列答案
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