【題目】已知mn∈R,f(x)=|xm|+|2xn|.

(1)當(dāng)mn=1時,求f(x)的最小值;

(2)若f(x)的最小值為2,求證.

【答案】(1) . (2)見解析.

【解析】試題分析:(1)代入mn=1,卻掉絕對值,得到分段函數(shù),判定分段函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)的最小值;

(2)由題意得,函數(shù)的最小值為2,得 ,利用基本不等式求解最值,即可證明.

試題解析:

(1)∵f(x)=

f(x)在(-∞,)是減函數(shù),在(,+∞)是增函數(shù),∴當(dāng)x時,f(x)取最小值.

(2)∵f(x)=,

f(x)在(-∞,)是減函數(shù),在(,+∞)是增函數(shù),

∴當(dāng)x時,f(x)取最小值f()=m.

mn∈R,∴ ()(m)

(2)≥2

點晴:本題主要考查了絕含有絕對值的函數(shù)的最小值問題及分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)、基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔試題,著重考查了分類討論思想與轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用,本題的解答中,根據(jù)絕對值的概念合理去掉絕對值號,轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),利用分段函數(shù)的圖象與性質(zhì),確定函數(shù)的最小值,構(gòu)造基本不等式的條件,利用基本不等式是解答問題的關(guān)鍵.

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