Question

【題目】【2018河南安陽(yáng)市高三一模】如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線之間的陰影部分即為，區(qū)域中動(dòng)點(diǎn)到的距離之積為1．

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）動(dòng)直線穿過區(qū)域，分別交直線于兩點(diǎn)，若直線與軌跡有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求證： 的面積恒為定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析．

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由點(diǎn)到直線距離公式直接把已知表示出來(lái)，并化簡(jiǎn)可得方程；

（Ⅱ）直線與軌跡有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即直線與軌跡相切，因此可求出當(dāng)與垂直（即斜率不存在）時(shí)， 面積，當(dāng)斜率存在時(shí)，可設(shè)其方程為，與雙曲線方程聯(lián)立方程組，由可得，再設(shè)出，由直線相交可求得（用表示），計(jì)算面積可得結(jié)論.

試題解析：

（Ⅰ）由題意得， .

因?yàn)辄c(diǎn)在區(qū)域內(nèi)，所以與同號(hào)，得，

即點(diǎn)的軌跡的方程為.

（Ⅱ）設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)， ， ，得.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，顯然，則，

把直線的方程與聯(lián)立得，

由直線與軌跡有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，知，

得，得或.

設(shè)， ，由得，同理，得.

所以 .

綜上， 的面積恒為定值2.