13.已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,則曲線y=f(x)上的點與直線y=2x-5的距離的最小值是$\frac{4\sqrt{5}}{5}$.

分析 首先利用解方程組法求出函數(shù)f(x)的解析式,再求出平行于直線y=2x-5且與曲線f(x)=x2相切的切點坐標(biāo),利用點到直線的距離公式即可求出最小值.

解答 解:∵f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,
∴f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8=2f(x)-x2+4x-4+16-8x-8.
將f(2-x)代入f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,
得f(x)=4f(x)-3x2,
∴f(x)=x2,f'(x)=2x,
設(shè)y=f(x)在點$({x}_{0},{{x}_{0}}^{2})$處的切線和y=2x-5平行
則2x0=2,得x0=1,即切點為(1,1),
∴曲線y=f(x)上的點與直線y=2x-5的距離的最小值為d=$\frac{|2-1-5|}{\sqrt{5}}$=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$.
故答案為:$\frac{4\sqrt{5}}{5}$.

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的運用,直線與曲線相切的性質(zhì)以及點到直線距離的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力,屬于中檔題

練習(xí)冊系列答案
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18.某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究,他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù),得到如下資料:
日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日
溫差x(℃)101113128
發(fā)芽數(shù)y(顆)2325302616
該農(nóng)科所確定的研究方案是:先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再對被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗.
(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率.
(2)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehaty=bx+a$;假設(shè)由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(2)中所得的線性回歸方程是否可靠?
附:參考公式:b=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$,$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$.

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5.若定義在R上的偶函數(shù)f(x)對任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有$\frac{f({x}_{2})-f({x}_{1})}{{x}_{2}-{x}_{1}}$<0,則(  )
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2.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{2}$x2,g(x)=alnx.
(1)若曲線y=f(x)-g(x)在x=1處的切線的方程為6x-2y-5=0,求實數(shù)a的值;
(2)設(shè)h(x)=f(x)+g(x),若對任意兩個不等的正數(shù)x1,x2,都有$\frac{h({x}_{1})-h({x}_{2})}{{x}_{1}-{x}_{2}}$>2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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