Question

18．關于x的方程kx²-2lnx-k=0有兩個不等實根，則實數(shù)k的取值范圍是（0，1）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得x=1為方程的一個根，則方程的另一個根為x＞0且x≠1，若k=1，推出方程只有一解x=1；討論x＞1，0＜x＜1，分離參數(shù)k，求出右邊函數(shù)的范圍和單調性，即可得到所求k的范圍．

解答 解：關于x的方程kx²-2lnx-k=0，
顯然x=1，k-2ln1-k=0成立；
則方程的另一個根為x＞0且x≠1，
若k=1，則方程為x²-2lnx-1=0，
由y=x²-2lnx-1，導數(shù)為2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$，
可得x=1為極小值點也為最小值點，
則x²-2lnx-1=0只有一解x=1．
當x＞1時，方程可化為k=$\frac{2lnx}{{x}^{2}-1}$，
由f（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{2}-1}$，x＞1，
f′（x）=$\frac{2x-\frac{2}{x}-4xlnx}{（{x}^{2}-1）^{2}}$，
令g（x）=2x-$\frac{2}{x}$-4xlnx，x＞1，
可得g′（x）=2+$\frac{2}{{x}^{2}}$-4（1+lnx）=$\frac{2}{{x}^{2}}$-2-4lnx，
顯然g′（x）在x＞1遞減，即有g′（x）＜g′（1）=0，
則g（x）在x＞1遞減，即有g（x）＜g（1）=0，
即有f（x）在（1，+∞）遞減；
同樣當0＜x＜1時，f（x）遞減，
且有f（x）＞0在x＞0且x≠1恒成立，
則當k＞0且k≠1時，原方程有兩個不等實根．
故答案為：（0，1）∪（1，+∞）．

點評 本題考查方程的根的情況，注意運用參數(shù)分離和分類討論的思想方法，以及構造函數(shù)法，考查函數(shù)的單調性，以及運算能力，屬于中檔題．