Question

18．關(guān)于x的方程kx²-2lnx-k=0有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（0，1）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得x=1為方程的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根為x＞0且x≠1，若k=1，推出方程只有一解x=1；討論x＞1，0＜x＜1，分離參數(shù)k，求出右邊函數(shù)的范圍和單調(diào)性，即可得到所求k的范圍．

解答 解：關(guān)于x的方程kx²-2lnx-k=0，
顯然x=1，k-2ln1-k=0成立；
則方程的另一個(gè)根為x＞0且x≠1，
若k=1，則方程為x²-2lnx-1=0，
由y=x²-2lnx-1，導(dǎo)數(shù)為2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$，
可得x=1為極小值點(diǎn)也為最小值點(diǎn)，
則x²-2lnx-1=0只有一解x=1．
當(dāng)x＞1時(shí)，方程可化為k=$\frac{2lnx}{{x}^{2}-1}$，
由f（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{2}-1}$，x＞1，
f′（x）=$\frac{2x-\frac{2}{x}-4xlnx}{（{x}^{2}-1）^{2}}$，
令g（x）=2x-$\frac{2}{x}$-4xlnx，x＞1，
可得g′（x）=2+$\frac{2}{{x}^{2}}$-4（1+lnx）=$\frac{2}{{x}^{2}}$-2-4lnx，
顯然g′（x）在x＞1遞減，即有g(shù)′（x）＜g′（1）=0，
則g（x）在x＞1遞減，即有g(shù)（x）＜g（1）=0，
即有f（x）在（1，+∞）遞減；
同樣當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）遞減，
且有f（x）＞0在x＞0且x≠1恒成立，
則當(dāng)k＞0且k≠1時(shí)，原方程有兩個(gè)不等實(shí)根．
故答案為：（0，1）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查方程的根的情況，注意運(yùn)用參數(shù)分離和分類討論的思想方法，以及構(gòu)造函數(shù)法，考查函數(shù)的單調(diào)性，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．