Question

20．集合M={x∈R|e^x（2x-1）≤ax-a}，其中a＞0，若集合M中有且只有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． （$\frac{3}{4e}$，1）
• B． （$\frac{3}{2e}$，1）
• C． [$\frac{3}{2e}$，1）
• D． （$\frac{3}{2e}$，1]

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=e^x（2x-1），y=ax-a，由題意知，存在唯一的整數(shù)x₀，使g（x₀）在直線(xiàn)y=ax-a的下方，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性，又直線(xiàn)y=ax-a恒過(guò)點(diǎn)（1，0），且斜率為a，結(jié)合圖象可知，a≤$\frac{0-（-1）}{1-0}$=1，且a＞$\frac{{e}^{-1}（-2-1）-0}{-1-1}$=$\frac{3}{2e}$．即可得出．

解答 解：設(shè)g（x）=e^x（2x-1），y=ax-a，

由題意知，存在唯一的整數(shù)x₀，使g（x₀）在直線(xiàn)y=ax-a的下方，
∵g′（x）=e^x（2x+1），
∴當(dāng)x＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＞-$\frac{1}{2}$時(shí)，g′（x）＞0，
∴g_min（x）=g（-$\frac{1}{2}$）=-2${e}^{-\frac{1}{2}}$；
且g（0）=-1，g（1）=3e＞0，
直線(xiàn)y=ax-a恒過(guò)點(diǎn)（1，0），且斜率為a，
結(jié)合圖象可知，
a≤$\frac{0-（-1）}{1-0}$=1，且a＞$\frac{{e}^{-1}（-2-1）-0}{-1-1}$=$\frac{3}{2e}$．
解得，$\frac{3}{2e}$＜a≤1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．