Question

16．已知{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，其中n∈N^*．
（1）若a₁=b₁=2，a₃-b₃=9，a₅=b₅，試分別求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)A={k|a_k=b_k，k∈N^*}，當(dāng)數(shù)列{b_n}的公比q＜-1時，求集合A的元素個數(shù)的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n} 的公差為d（d≠0），數(shù)列{b_n} 的公差為q（q≠0，1），利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）不妨設(shè)${a_n}=a+bn（{b≠0}），{b_n}=p{q^n}（{pq≠0，q≠1}）$，可得a+bn=pqⁿ，即$\frac{a}{p}+\frac{p}n={q^n}$，令$s=\frac{a}{p}，t=\frac{p}（{t≠0}）$，問題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于n 的方程qⁿ-tn-s=0 最多有多少個解．再利用分類討論、函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n} 的公差為d（d≠0），數(shù)列{b_n} 的公差為q（q≠0，1），
則$\left\{{\begin{array}{l}{2+2d-2{q^2}=9}\\{2+4d=2{q^4}}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{d=\frac{15}{2}}\\{q=±2}\end{array}}\right.$，
∴${a_n}=\frac{15}{2}n-\frac{11}{2}$，${b_n}={2^n}$ 或-（-2）ⁿ．
（2）不妨設(shè)${a_n}=a+bn（{b≠0}），{b_n}=p{q^n}（{pq≠0，q≠1}）$，則a+bn=pqⁿ，即$\frac{a}{p}+\frac{p}n={q^n}$，
令$s=\frac{a}{p}，t=\frac{p}（{t≠0}）$，問題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于n 的方程qⁿ-tn-s=0 （*）最多有多少個解．
①當(dāng)t＞0 時，∵q＞1，∴函數(shù)f'（x） 單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＜x₀ 時，f'（x）x₀ 時，f'（x）＞0，f（x） 單調(diào)遞增，
∴方程（*）在（-∞，x₀） 和（x₀，+∞） 上最多各有1個解． 綜上：當(dāng)n∈N^* 時，方程（*）最多有3個解．
②當(dāng)t＜0 時，同理可知方程（*）最多有3個解．
事實(shí)上，設(shè)${a_n}=6n-8，{b_n}={（-2）^n}$ 時，有a₁=b₁，a₂=b₂，a₄=b₄，所以A的元素個數(shù)最大值為3．

點(diǎn)評 本題考查了集合的性質(zhì)、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、方程的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．