Question

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；

（2）判斷當(dāng)時函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）若定義域?yàn)?/span>，解不等式.

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)（2）增函數(shù)（3）

【解析】試題分析：（1）判斷與證明函數(shù)的奇偶性，首先要確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系，如果對定義域上的任意x，都滿足f(-x)=f(x)就是偶函數(shù)，如果f(-x)=-f(x)就是奇函數(shù)，否則是非奇非偶函數(shù)。（2）利函數(shù)單調(diào)性定義證明單調(diào)性，按假設(shè)，作差，化簡，判斷，下結(jié)論五個步驟。（3）由（1）（2）奇函數(shù)在（-1，1）為單調(diào)函數(shù)，

原不等式變形為f(2x-1)<-f(x),即f(2x-1)<f(-x),再由函數(shù)的單調(diào)性及定義（-1，1）求解得x范圍。

試題解析：（1）函數(shù)為奇函數(shù)．證明如下：

定義域?yàn)?/span>

又

為奇函數(shù)

（2）函數(shù)在（-1，1）為單調(diào)函數(shù)．證明如下：

任取，則

，

即

故在（-1，1）上為增函數(shù)

（3）由（1）、（2）可得

則

解得：

所以，原不等式的解集為