Question

17．在鈍角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=7，c=5，sinC=$\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$，則△ABC的面積等于（　�。�

• A． $\frac{{25\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$
• D． $\frac{15}{4}$

Answer 1

分析 由條件和平方關(guān)系求出cosC，由余弦定理列出方程求出b的值，利用條件和余弦定理確定b的值，利用三角形面積公式求出△ABC的面積．

解答 解：在鈍角△ABC中，∵a=7，c=5，sinC=$\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$，
∴A＞C，C是銳角，且cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{11}{14}$，
由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，
∴25=49+$^{2}-2×7×b×\frac{11}{14}$，則b²-11b+24=0，
解得b=3或8，
∵△ABC是鈍角三角形，∴當(dāng)b=8時，角B是鈍角，
∵cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{49+25-64}{2×7×5}$=$\frac{1}{7}＞$0，
則b=8舍去，同理驗(yàn)證b=3符合條件，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×7×3×\frac{5\sqrt{3}}{14}$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查余弦定理，以及利用余弦定理判斷是否是鈍角的綜合應(yīng)用，考查化簡、計算能力，屬于中檔題．