Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率等于 ，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）點P(2，3)， Q（2，-3）在橢圓上，A，B是橢圓上位于直線PQ兩惻的動點，

①若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值；

②當A、B運動時，滿足于∠APQ=∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由.

 

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）①；②.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用橢圓中的相關定義和方程，可知.由，即可求出求解a，b，進而求得標準方程．（Ⅱ）設直線方程，將直線方程和橢圓方程聯立，通過消元，轉化為一元二次方程去解決.①設，直線的方程為， 代入，得 由，解得，由韋達定理得. 四邊形的面積，可知當，.②當，則、的斜率之和為0，設直線的斜率為，則的斜率為，的直線方程為，將其與橢圓方程聯立整理得 ，可得

同理的直線方程為，可得，，，化簡即可求得的斜率為定值.

試題解析：【解析】
(1）設橢圓的方程為，則.由，得

∴橢圓C的方程為.

（2）①【解析】
設，直線的方程為， 代入，

得

由，解得

由韋達定理得. 四邊形的面積

∴當，. …… 4分

②【解析】
當，則、的斜率之和為0，設直線的斜率為

則的斜率為，的直線方程為 由

（1）代入（2）整理得

同理的直線方程為，可得

∴

所以的斜率為定值. …………12分.

考點：1.直線與圓錐曲線的綜合問題；2.橢圓的簡單性質．