Question

8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面PBC⊥平面PCD；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)N是線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，且$\overrightarrow{DN}$=λ$\overrightarrow{DC}$，當(dāng)直線MN與平面PAB所成的角最大時(shí)，求λ的值．

Answer 1

分析 （I）取PC的中點(diǎn)E，連接DE，由四邊形ADEM是平行四邊形得AM∥DE，由AM⊥平面PBC得DE⊥平面PBC，故而平面PBC⊥平面PCD；
（II）以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{MN}$和平面PAB的法向量$\overrightarrow{AD}$，得出|cos＜$\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{AD}$＞|關(guān)于λ的函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出|cos＜$\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{AD}$＞|取得最大值時(shí)的λ的值．

解答 證明：（1）取PC的中點(diǎn)E，則連接DE，
∵M(jìn)E是△PBC的中位線，
∴ME$\stackrel{∥}{=}\frac{1}{2}BC$，又AD$\stackrel{∥}{=}\frac{1}{2}BC$，
∴ME$\stackrel{∥}{=}$AD，
∴四邊形AMED是平行四邊形，∴AM∥DE．
∵PA=AB，M是PB的中點(diǎn)，
∴AM⊥PB，
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，∵AM?平面PAB，
∴BC⊥AM，
又PB?平面PBC，BC?平面PBC，PB∩BC=B，
∴AM⊥平面PBC，∵AM∥DE，
∴DE⊥平面PBC，又DE?平面PCD，
∴平面PBC⊥平面PCD．
（2）以A為原點(diǎn)，以AD，AB，AP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則A（0，0，0），B（0，2，0），M（0，1，1），P（0，0，2），C（2，2，0），D（1，0，0）．
∴$\overrightarrow{DC}$=（1，2，0），$\overrightarrow{AM}$=（0，1，1），$\overrightarrow{AD}$=（1，0，0），
∴$\overrightarrow{DN}$=λ$\overrightarrow{DC}$=（λ，2λ，0），$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}$=（λ+1，2λ，0），
$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$=（λ+1，2λ-1，-1）．
∵AD⊥平面PAB，∴$\overrightarrow{AD}$為平面PAB的一個(gè)法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{MN}$＞=$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{MN}}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{MN}|}$=$\frac{λ+1}{\sqrt{5{λ}^{2}-2λ+3}}$=$\frac{λ+1}{\sqrt{5（λ+1）^{2}-12（λ+1）+10}}$=$\frac{1}{\sqrt{5-\frac{12}{λ+1}+\frac{10}{（λ+1）^{2}}}}$
=$\frac{1}{\sqrt{10（\frac{1}{λ+1}-\frac{3}{5}）^{2}+\frac{7}{5}}}$
設(shè)MN與平面PAB所成的角為θ，則sinθ=$\frac{1}{\sqrt{10（\frac{1}{λ+1}-\frac{3}{5}）^{2}+\frac{7}{5}}}$．
∴當(dāng)$\frac{1}{λ+1}=\frac{3}{5}$ 即$λ=\frac{2}{3}$時(shí)，sinθ取得最大值，
∴MN與平面PAB所成的角最大時(shí)$λ=\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了面面垂直的判定，空間向量的應(yīng)用與線面角的計(jì)算，屬于中檔題．