Question

20．我們可以將1拆分如下：1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$，1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$，以此類推，可得：1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{90}$+$\frac{1}{110}$+$\frac{1}{132}$+$\frac{1}{156}$，其中m，n∈N^*，且m＜n，則函數(shù)y=$\frac{（m+n）x}{x-1}$的值域為{y|y≠43}．

Answer 1

分析 根據(jù)已知求出m，n的值，進而得到函數(shù)的解析式，利用分離常數(shù)法，可得函數(shù)的值域．

解答 解：由已知中：
1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，
1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$，
1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$，
若1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{90}$+$\frac{1}{110}$+$\frac{1}{132}$+$\frac{1}{156}$，其中m，n∈N^*，且m＜n，
∵2=1×2，
6=2×3，
30=5×6，
42=6×7，
56=7×8，
72=8×9，
90=9×10，
110=10×11，
132=11×12，
∴1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{90}$+$\frac{1}{110}$+$\frac{1}{132}$+$\frac{1}{156}$=（1-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{20}$+（$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{12}$）+$\frac{1}{156}$，
$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{m+n}{mn}$=$\frac{43}{390}$，
∴m=13，n=30，
∴函數(shù)y=$\frac{（m+n）x}{x-1}$=$\frac{43x}{x-1}$=$\frac{43（x-1）+43}{x-1}$=43+$\frac{43}{x-1}$≠43，
故函數(shù)的值域為：{y|y≠43}，
故答案為：{y|y≠43}

點評 本題考查的知識點是歸納推理，函數(shù)的值域，其中根據(jù)已知求出m，n值是解答的關(guān)鍵．