Question

19．某電視臺(tái)在一次對(duì)收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中，隨機(jī)抽取了n名電視觀眾，如圖是觀眾年齡的頻率分布直方圖，已知年齡在[30，35）的人數(shù)為10人．
（Ⅰ）完成下列2×2列聯(lián)表：

	文藝節(jié)目	新聞節(jié)目	總計(jì)
大于或等于20歲至小于40歲	40
大于或等于40歲		30
總計(jì)

并據(jù)此資料檢驗(yàn)，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下，能否認(rèn)為收看文藝節(jié)目的觀眾與年齡有關(guān)？
（Ⅱ）根據(jù)用分層抽樣方法在收看文藝節(jié)目的觀眾中隨機(jī)抽取6名進(jìn)一步了解觀看節(jié)目情況，最后在這6名觀眾中隨機(jī)抽出3人獲獎(jiǎng)，記這獲獎(jiǎng)3人中年齡大于或等于40歲的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．
參考公式與臨界值表：K²=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出n=100，由圖可知大于或等于40歲的觀眾，可得列聯(lián)表，代入計(jì)算出K²的值，與臨界值比較后可得在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前前下，認(rèn)為收看文藝節(jié)目的觀眾與年齡有關(guān)；
（Ⅱ）由已知可得ξ的可能值為0、1、2、3，利用綜合數(shù)計(jì)算出隨機(jī)變量的分布列，代入數(shù)學(xué)期望公式，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由圖可知$\frac{10}{n}=0.02×5$，所以n=100，又由圖可知大于或等于40歲的觀眾有（0.04+0.03+0.02+0.01）×5×100=50，從而完成2×2列聯(lián)表如下：

	文藝節(jié)目	新聞節(jié)目	總計(jì)
大于或等于20歲小于40歲	40	10	50
大于或等于40歲	20	30	50
總計(jì)	60	40	100

…（3分）
∵${K^2}=\frac{{100{{（40×30-20×10）}^2}}}{50×50×60×40}$=$\frac{50}{3}＞16.66＞10.828$…-（5分）
∴在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前前下，認(rèn)為收看文藝節(jié)目的觀眾與年齡有關(guān)…（6分）
（Ⅱ）用分層抽樣方法應(yīng)抽取20至40歲的觀眾人數(shù)為$\frac{40}{60}×6=4$（名），抽取大于40歲的觀眾人數(shù)為$\frac{20}{60}×6=2$（名）…（7分）
所以ξ的可能值為0、1、2…（8分）
$P（ξ=0）=\frac{C_4^3}{C_6^3}=\frac{1}{5}$，$P（ξ=1）=\frac{C_4^2C_2^1}{C_6^3}=\frac{3}{5}$，$P（ξ=2）=\frac{C_4^1C_2^2}{C_6^3}=\frac{1}{5}$，…（10分）
故ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

…（11分）
ξ的數(shù)學(xué)期望$Eξ=0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{5}=1$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是離散型隨機(jī)變量的期望與方差，分層抽樣方法，獨(dú)立性檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)較為綜合的題型，難度中檔．