【題目】為豐富市民的文化生活,市政府計劃在一塊半徑為200m,圓心角為的扇形地上建造市民廣場,規(guī)劃設計如圖:內(nèi)接梯形區(qū)域為運動休閑區(qū),其中A,B分別在半徑,上,C,D在圓弧上,
;上,;區(qū)域為文化展區(qū),長為,其余空地為綠化區(qū)域,且長不得超過200m.
(1)試確定A,B的位置,使的周長最大?
(2)當的周長最長時,設,試將運動休閑區(qū)的面積S表示為的函數(shù),并求出S的最大值.
【答案】(1)、都為50m;(2);;最大值為.
【解析】
對于(1),設,,m,,在△OAB中,利用余弦定理可得,整理得,結合基本不等式即可得出結論;
對于(2),當△AOB的周長最大時,梯形ACBD為等腰梯形,過O作OF⊥CD交CD于F,交AB于E,則E、F分別為AB,CD的中點,利用已知可表示出相關線段;然后利用梯形的面積公式可知, ,,令,,,結合導數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求出S的最大值。
解:(1)設,,m,,
在中,,
即.
所以.
所以,當且僅當時,取得最大值,
此時周長取得最大值.
答:當、都為50m時,的周長最大.
(2)當的周長最大時,梯形為等腰梯形.
如上圖所示,過O作交于F,交于E,則E、F分別為、的中點,
所以.由,得.
在中,,.
又在中,,故.
所以
,.
令,,
,.
又及在上均為單調(diào)遞減函數(shù),
故在上為單調(diào)遞減函數(shù).
因,故在上恒成立,
于是,在上為單調(diào)遞增函數(shù).
所以當時,有最大值,此時S有最大值為.
答:當時,梯形面積有最大值,且最大值為.
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【題目】供電部門對某社區(qū)位居民2017年12月份人均用電情況進行統(tǒng)計后,按人均用電量分為, , , , 五組,整理得到如下的頻率分布直方圖,則下列說法錯誤的是
A. 月份人均用電量人數(shù)最多的一組有人
B. 月份人均用電量不低于度的有人
C. 月份人均用電量為度
D. 在這位居民中任選位協(xié)助收費,選到的居民用電量在一組的概率為
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【題目】如圖是某班級50名學生訂閱數(shù)學、語文、英語學習資料的情況,其中A表示訂閱數(shù)學學習資料的學生,B表示訂閱語文學習資料的學生,C表示訂閱英語學習資料的學生
(1)從這個班任意選擇一名學生,用自然語言描述1,4,5,8各區(qū)域所代表的事件;
(2)用A,B,C表示下列事件:
①恰好訂閱一種學習資料;
②沒有訂閱任何學習資料.
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【題目】有一批材料可以建成200m的圍墻,若用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地,中間用同樣的材料隔成三個面積相等的矩形,如何設計這塊矩形場地的長和寬,能使面積最大,并求出最大面積.
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【題目】如圖,拋物線的焦點為,拋物線上兩點,在拋物線的準線上的射影分別為.
(1)如圖,若點在線段上,過作的平行線與拋物線準線交于,證明:是的中點;
(2)如圖,若的面積是的面積的兩倍,求中點的軌跡方程.
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【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿足條件f(0)=1,及f(x+1)﹣f(x)=2x.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)在區(qū)間[﹣1,1]上,y=f(x)的圖象恒在y=2x+m的圖象上方,試確定實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定義域;
(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明;
(3)當a>1時,求使f(x)>0的解集.
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【題目】如圖,OA,OB是兩條互相垂直的筆直公路,半徑OA=2km的扇形AOB是某地的一名勝古跡區(qū)域.當?shù)卣疄榱司徑庠摴袍E周圍的交通壓力,欲在圓弧AB上新增一個入口P(點P不與A,B重合),并新建兩條都與圓弧AB相切的筆直公路MB,MN,切點分別是B,P.當新建的兩條公路總長最小時,投資費用最低.設∠POA=,公路MB,MN的總長為.
(1)求關于的函數(shù)關系式,并寫出函數(shù)的定義域;
(2)當為何值時,投資費用最低?并求出的最小值.
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