Question

5．已知拋物線C：y²=4x上一點M（4，-4），點A，B是拋物線C上的兩動點，且$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$=0，則點M到直線AB的距離的最大值是4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 設直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$=0，結合韋達定理，即可證明直線AB過定點，并可求出定點的坐標，再由當MC垂直于直線AB時，點M到直線AB距離取得最大值，求出即可．

解答 解：設直線AB的方程為x=my+n，點A、B的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線方程代入拋物線方程，消x得y²-4my-4n=0，
由△＞0，得m²+n＞0，y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4n，
∵$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$=0，
∴（x₁-4）（x₂-4）+（y₁+4）（y₂+4）=0，
∴（y₁+4）（y₂+4）[（y₁-4）（y₂-4）+16]=0，
∴（y₁+4）（y₂+4）=0或（y₁-4）（y₂-4）+16=0．
∴n=4m+4或n=-4m+8，∵△＞0恒成立，∴n=-4m+8，
∴直線AB的方程為x-8=m（y-4），
∴直線AB過定點C（8，4），
當MC垂直于直線AB時，點M到直線AB距離取得最大值，且為$\sqrt{（8-4）^{2}+（4+4）^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
故答案為：4$\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查直線與拋物線的綜合問題．解決的巧妙之處在于直線方程的設法．當直線的斜率不確定存在時，為避免討論，常設直線方程為x=my+n的形式，同時考查點到直線的距離的最值的求法，屬于中檔題．