Question

20．已知{a_n}是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為S_n（n∈N^*），且$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{{a}_{3}}$，S₆=63．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若對(duì)任意的n∈N^*，b_n是log₂a_n和log₂a_n+1的等差中項(xiàng)，求數(shù)列{（-1）ⁿb${\;}_{n}^{2}$}的前2n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程解出公比q，利用求和公式解出a₁，得出通項(xiàng)公式；
（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出b_n，使用分項(xiàng)求和法和平方差公式計(jì)算．

解答 解：（1）設(shè){a_n}的公比為q，則$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{1}q}$=$\frac{2}{{a}_{1}{q}^{2}}$，即1-$\frac{1}{q}$=$\frac{2}{{q}^{2}}$，
解得q=2或q=-1．
若q=-1，則S₆=0，與S₆=63矛盾，不符合題意．∴q=2，
∴S₆=$\frac{{a}_{1}（1-{2}^{6}）}{1-2}$=63，∴a₁=1．
∴a_n=2^n-1．
（2）∵b_n是log₂a_n和log₂a_n+1的等差中項(xiàng)，
∴b_n=$\frac{1}{2}$（log₂a_n+log₂a_n+1）=$\frac{1}{2}$（log₂2^n-1+log₂2ⁿ）=n-$\frac{1}{2}$．
∴b_n+1-b_n=1．
∴{b_n}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列．
設(shè){（-1）ⁿb_n²}的前2n項(xiàng)和為T_n，則
T_n=（-b₁²+b₂²）+（-b₃²+b₄²）+…+（-b_2n-1²+b_2n²）
=b₁+b₂+b₃+b₄…+b_2n-1+b_2n
=$\frac{_{1}+_{2n}}{2}•2n$=$\frac{\frac{1}{2}+2n-\frac{1}{2}}{2}•2n$
=2n²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)，分項(xiàng)求和的應(yīng)用，屬于中檔題．