Question

已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝1，BC＝2，又PB⊥平面ABCD，且PB＝1，點E在棱PD上，且DE＝2PE．

(Ⅰ)求異面直線PA與CD所成的角的大小；

(Ⅱ)求證：BE⊥平面PCD；

(Ⅲ)求二面角A－PD－B的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)取BC中點F，連結(jié)AF，則CF＝AD，且CF∥AD， 　　∴四邊形ADCF是平行四邊形，∴AF∥CD， 　　∴∠PAF(或其補角)為異面直線PA與CD所成的角　　　2分 　　∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BA，PB⊥BF． 　　∵PB＝AB＝BF＝1，∴AB⊥BC，∴PA＝PF＝AF＝．　　　4分 　　∴△PAF是正三角形，∠PAF＝60° 　　即異面直線PA與CD所成的角等于60°．　　　5分 　　(Ⅱ)在Rt△PBD中，PB＝1，BD＝，∴PD＝ 　　∵DE＝2PE，∴PE＝ 　　則，∴△PBE∽△PDB，∴BE⊥PD．　　　7分 　　由(Ⅰ)知，CF＝BF＝DF，∴∠CDB＝90°． 　　∴CD⊥BD．又PB⊥平面PBD，∴PB⊥CD． 　　∵PB∩BD＝B，∴CD⊥平面PBD，∴CD⊥BE　　　9分 　　∵CD∩PD＝D，∴BE⊥平面PCD．　　　10分 　　(Ⅲ)連結(jié)AF，交BD于點O，則AO⊥BD． 　　∵PB⊥平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABD，∴AO⊥平面PBD． 　　過點O作OH⊥PD于點H，連結(jié)AH，則AH⊥PD． 　　∴∠AHO為二面角A－PD－B的平面角．　　　12分 　　在Rt△ABD中，AO＝． 　　在Rt△PAD中，AH＝．　　　14分 　　在Rt△AOH中，sin∠AHO＝． 　　∴∠AHO＝60°． 　　即二面角A－PD－B的大小為60°．　　　15分