Question

16．在△ABC中，直線AB的方程為3x-2y-1=0，直線AC的方程為2x+3y-18=0．直線BC的方程為3x+4y-m=0（m≠25）．
（1）求證：△ABC為直角三角形；
（2）當(dāng)△ABC的BC邊上的高為1時，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用斜率計算公式、直線垂直與斜率之間的關(guān)系即可判斷出三角形形狀．
（2）利用直線的交點求法、點到直線的距離公式即可得出．

解答 解：（1）∵直線AB的斜率為${k_{AB}}=\frac{3}{2}$，
直線AC的斜率為${k_{AC}}=-\frac{2}{3}$，k_ABk_AC=-1，
∴直線AB與AC互相垂直，因此，△ABC為直角三角形．
（2）解方程組$\left\{\begin{array}{l}2x+3y-18=0\\ 3x-2y-1=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=4\end{array}\right.$，即A（3，4）．
設(shè)點A到直線BC的距離為d，則$d=\frac{{\left|{3×3+4×4-m}\right|}}{{\sqrt{{3^2}+{4^2}}}}=\frac{{\left|{25-m}\right|}}{5}$．
由題意知d=1，即$\frac{{\left|{25-m}\right|}}{5}=1$，即m=20或30．

點評 本題考查了斜率計算公式、直線垂直與斜率之間的關(guān)系、直線的交點求法、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．