在平面直角坐標系xOy中,P是直線2x+2y-1=0上的一點,Q是射線OP上的一點,滿足|OP|•|OQ|=1.
(Ⅰ)求Q點的軌跡;
(Ⅱ)設點M(x,y)是(Ⅰ)中軌跡上任意一點,求x+7y的最大值.
考點:簡單曲線的極坐標方程,軌跡方程
專題:計算題,坐標系和參數(shù)方程
分析:(Ⅰ)設射線OP的極坐標方程為ρ=
1
2cosθ+2sinθ
,依題意可知,動點Q的極坐標為(ρ,θ),P(ρ′,a),由|OP|•|OQ|=1,可得ρ′•ρ=1,即可求出Q點的軌跡;
(Ⅱ)設M(1+
2
cosα,1+
2
sinα),可得x+7y=1+
2
cosα+7+7
2
sinα=8+10sin(α+γ),即可求x+7y的最大值.
解答: 解:(Ⅰ)設射線OP的極坐標方程為ρ=
1
2cosθ+2sinθ
,
依題意可知,動點Q的極坐標為(ρ,θ),P(ρ′,a),由|OP|•|OQ|=1,可得ρ′•ρ=1.
∴ρ=
1
ρ′
=2cosθ+2sinθ,
∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ,
∴x2+y2=2x+2y,
∴(x-1)2+(y-1)2=2,
∴Q點的軌跡是以(1,1)為圓心,
2
為半徑的圓;
(Ⅱ)設M(1+
2
cosα,1+
2
sinα),
∴x+7y=1+
2
cosα+7+7
2
sinα=8+10sin(α+γ),
∴x+7y的最大值為18.
點評:本題考查極坐標與參數(shù)方程,考查軌跡方程,考查學生的計算能力,比較基礎.
練習冊系列答案
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;
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2
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1
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2
n
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