Question

17．已知命題：“平面內$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$是一組不平行向量，且|$\overrightarrow{OA}}$|=|${\overrightarrow{OB}}$|=1，$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，則任一非零向量$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OP}$=λ₁$\overrightarrow{OA}$+λ₂$\overrightarrow{OB}$（λ₁，λ₂∈R），若點P在過點O（不與OA重合）的直線l上，則$\frac{λ_1}{λ_2}$=k（定值），反之也成立，我們稱直線l為以$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$為基底的等商線，其中定值k為直線l的等商比．”為真命題，則下列結論中成立的是①③④⑤（填上所有真命題的序號）．
①當k=1時，直線l經(jīng)過線段AB中點；
②當k＜-1時，直線l與AB的延長線相交；
③當k=-1時，直線l與AB平行；
④l₁⊥l₂時，對應的等商比滿足k₁•k₂=-1；
⑤直線l₁與l₂的夾角記為θ（θ≠$\frac{π}{2}}$）對應的等商比為k₁、k₂，則tanθ=$\frac{{|{{k_1}-{k_2}}|}}{{|{1+{k_1}{k_2}}|}}$．

Answer 1

分析 由題意可設A（1，0），B（0，1），對于①，可得P的坐標和直線l的方程，由中點坐標公式即可判斷；
對于②，當k＜-1時，求得直線l的斜率范圍，可得直線l與BA的延長線有交點，即可判斷；
對于③，當k=-1時，求得直線AB的斜率和直線l的斜率，由兩直線平行的條件，即可判斷；
對于④，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，結合新定義即可判斷；
對于⑤，運用兩直線的夾角公式，結合新定義即可判斷．

解答 解：平面內$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$是一組不平行向量，且|$\overrightarrow{OA}}$|=|${\overrightarrow{OB}}$|=1，$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
可設A（1，0），B（0，1），
①當k=1時，有λ₁=λ₂，$\overrightarrow{OP}$=λ₁$\overrightarrow{OA}$+λ₂$\overrightarrow{OB}$=（λ₁，λ₂），
即有P在直線y=x上，直線l經(jīng)過線段AB中點（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），故①正確；
②當k＜-1時，直線l的方程為y=$\frac{{λ}_{2}}{{λ}_{1}}$x，可得直線l的斜率為（-1，0），
即有直線l與BA的延長線有交點，故②不正確；
③當k=-1時，直線l為y=-x，k_AB=$\frac{1-0}{0-1}$=-1，直線l與AB平行，故③正確；
④l₁⊥l₂時，可得直線l₁，l₂的斜率之積為-1，由新定義可得對應的等商比滿足k₁•k₂=-1，故④正確；
⑤直線l₁與l₂的夾角記為θ（θ≠$\frac{π}{2}}$）對應的等商比為k₁、k₂，
由兩直線的夾角公式可得tanθ=|$\frac{\frac{1}{{k}_{1}}-\frac{1}{{k}_{2}}}{1+\frac{1}{{k}_{1}{k}_{2}}}$|，化簡可得tanθ=$\frac{{|{{k_1}-{k_2}}|}}{{|{1+{k_1}{k_2}}|}}$．故⑤正確．
故答案為：①③④⑤．

點評 本題考查新定義的理解和運用，注意運用轉化思想和坐標法，兩直線平行、垂直的條件，以及夾角公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．