Question

12．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，B₁C⊥AC₁．
（1）求AA₁的長．
（2）在線段BB₁存在點(diǎn)P，使得二面角P-A₁C-A大小的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求$\frac{BP}{B{B}_{1}}$的值．

Answer 1

分析 （1）以A₁為原點(diǎn)，A₁B₁為x軸，A₁C₁為y軸，A₁A為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AA₁的長．
（2）設(shè)$\frac{BP}{B{B}_{1}}$=λ，（0≤λ≤1），求出設(shè)平面PA₁C的法向量和平面A₁CA的法向量，由二面角P-A₁C-A大小的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，能求出$\frac{BP}{B{B}_{1}}$的值．

解答 解：（1）以A₁為原點(diǎn)，A₁B₁為x軸，A₁C₁為y軸，A₁A為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AA₁=t，（t＞0），則B₁（3，0，0），C（0，4，t），A（0，0，t），C₁（0，4，0），
$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-3，4，t），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，4，-t），
∵B₁C⊥AC₁，∴$\overrightarrow{{B}_{1}C}•\overrightarrow{A{C}_{1}}$=16-t²=0，
由t＞0，解得t=4，
∴AA₁的長為4．
（2）設(shè)$\frac{BP}{B{B}_{1}}$=λ，（0≤λ≤1），則B₁P=4-4λ，
P（3，0，4-4λ），A₁（0，0，0），C（0，4，4），
$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=（3，0，4-4λ），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，4，4），
設(shè)平面PA₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}P}=2x+（4-4λ）z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=4y+4z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（2-2λ，1，-1），
平面A₁CA的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
∵二面角P-A₁C-A大小的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2-2λ}{\sqrt{（2-2λ）^{2}+2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$λ=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BP}{B{B}_{1}}$的值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查線段長的求法，考查線段長比值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．