已知A、B、C的坐標分別為A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）．
（1）若α∈（-π，0），且|
AC
|=|
BC
|，求角α的大��；
（2）若
AC
⊥
BC
，求
2sin2α+sin2α
1+tanα
的值．
分析：（1）利用點的坐標求出向量的坐標，根據(jù)向量模的平方等于向量的平方得到三角函數(shù)的關系，據(jù)角的范圍求出角．
（2）利用向量垂直的充要條件列出方程利用三角函數(shù)的二倍角公式、切化弦公式化簡三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的平方關系求出值．
解答：解：（1）
AC
=(3cosα-4，3sinα)，
BC
=(3cosα，3sinα-4)
AC
2=25-24cosα，
BC
2=25-24sinα
∵|
AC
|=|
BC
|
∴25-24cosα=25-24sinα
∴sinα=cosα
又α∈（-π，0），
∴α=-
3
4
π．
（2）∵
AC
⊥
BC
∴
AC
•
BC
=0
即（3cosα-4）×3cosα+3sinα×（3sinα-4）=0
解得sinα+cosα=
3
4

所以1+2sinαcosα=
9
16

∴2sinαcosα=-
7
16

故
2sin2α+sin2α
1+tanα
=
2sinα(sinα+cosα)
sinα+cosα
cosα
=2sinαcosα=-
7
16
點評：本題考查向量坐標的求法、向量模的坐標公式、由三角函數(shù)值求角、三角函數(shù)中的二倍角公式、平方關系．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A、B、C的坐標分別為A（4，0）、B（0，4）、C（3cosα，3sinα）
（Ⅰ）若a∈（-π，0），且|
AC
|=|
BC
|．求角α的值；
（Ⅱ）若
AC
•
BC
=0．求
2sina+sin2a
1+tana
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A、B、C的坐標分別是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα ）．
（Ⅰ）若|
AC
|=|
BC
|，求角α 的值；
（Ⅱ）若
AC
•
BC
=-1，求
2sin2α+sin2α
1+tanα
 的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A、B、C的坐標分別為A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈(
π
2
，
3π
2
)．
（Ⅰ）若
OC
∥
AB
，O為坐標原點，求角α的值；
（Ⅱ）若
AC
⊥
BC
，求
1+
2
sin(2α-
π
4
)
1+tanα
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A，B，C的坐標分別為（0，1，0），（-1，0，-1），（2，1，1），點P的坐標是（x，0，y），若PA⊥平面ABC，則點P的坐標是
 
．

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