Question

13．等差數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，a₁=1，前n項和為S_n；數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，b₁=1，且b₂S₂=6，b₂+S₃=8．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）求{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，d＞0，{b_n}的公比為q，運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通項公式；
（2）求得a_n•b_n=n•2^n-1．運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，d＞0，{b_n}的公比為q，
則a_n=1+（n-1）d，b_n=q^n-1．
由b₂S₂=6，b₂+S₃=8，
有q（2+d）=6，q+3+3d=8，
解得d=1，q=2，或q=9，d=-$\frac{4}{3}$（舍去），
故a_n=n，b_n=2^n-1．
（2）a_n•b_n=n•2^n-1．
前n項和為T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1，
2T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ．
兩式相減可得-T_n=1+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ．
化簡可得T_n=1+（n-1）•2ⁿ．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查方程思想，以及數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．