如圖,在三棱錐A-BCD中,△ABD和△BCD是兩個全等的等腰直角三角形,O為BD的中點,且AB=AD=CB=CD=2,AC=.
(1)當時,求證:AO⊥平面BCD;
(2)當二面角的大小為時,求二面角的正切值.
(1)先證 AO⊥CO, AO⊥BD (2)
解析試題分析:(1)根據(jù)題意知,在△AOC中,,,
所以,所以AO⊥CO.
因為AO是等腰直角E角形ABD的中線,所以AO⊥BD.
又BDCO=O,所以AO⊥平面BCD.
(2)法一 由題易知,CO⊥OD.如圖,以O為原點,
OC、OD所在的直線分別為軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
則有O(0,0,0),,,.
設,則,.
設平面ABD的法向量為,
則即
所以,令,則.
所以.
因為平面BCD的一個法向量為,
且二面角的大小為,所以,
即,整理得.
因為,所以,
解得,,所以,
設平面ABC的法向量為,
因為,,
則即
令,則,.所以.
設二面角的平面角為,則
.
所以,即二面角的正切值為.
法二 在△ABD中,BD⊥AO,在△BCD中,BD⊥CO,
所以∠AOC是二面角的平面角,即∠AOC=.
如圖,過點A作CO的垂線交CO的延長線于點H,
因為BD⊥CO,BD⊥AO,且COAO=O,
所以BD⊥平面AOC.
因為AH平面AOC,所以BD⊥AH.
又CO⊥AH,且COBD=O,所以AH⊥平面BCD.
過點A作AK⊥BC,垂足為K,連接HK.
因為BC⊥AH,AKAH=A,所以BC⊥平面AHK.
因為HK平面AHK,所以BC⊥HK,
所以∠AKH為二面角的平面角.
在△AOH中,∠AOH=,,則,,
所以.
在R t△CHK中,∠HCK=,所以.
在 R t△AHK中,,
所以二面角的正切值為.
考點:直線與平面垂直的判定;與二面角有關的立體幾何綜合題.
點評:本小題主要考查空間線面關系、二面角的度量、直線與平面所成的角等知識,考查數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想方法,以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F(xiàn),G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點,求證:
(1)B,C,H,G四點共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在長方體中,,過、、三點的平面截去長方體的一個角后,得到如圖所示的幾何體,且這個幾何體的體積為.
(1)求棱的長;
(2)若的中點為,求異面直線與所成角的大。ńY果用反三角函數(shù)值表示).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在直三棱柱(側棱垂直底面)中,M、N分別是BC、AC1中點,AA1=2,AB=,AC=AM=1.
(1)證明:MN∥平面A1ABB1;
(2)求幾何體C—MNA的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,已知為平行四邊形,,,,點在上,,,與相交于.現(xiàn)將四邊形沿折起,使點在平面上的射影恰在直線上.
(Ⅰ) 求證:平面;
(Ⅱ) 求折后直線與平面所成角的余弦值.
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