Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e}^{x}-2a（x+1），x≥0\\ x+acosx，x＜0\end{array}\right.（a∈R）$，若其在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[-1，\frac{1}{3}]$．

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e}^{x}-2a（x+1），x≥0\\ x+acosx，x＜0\end{array}\right.（a∈R）$，若其在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e}^{x}-2a，x≥0\\ 1-asinx，x＜0\end{array}\right.$滿足f′（x）≥0恒成立，且分段處左段函數(shù)值不大于右段函數(shù)值，解得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e}^{x}-2a（x+1），x≥0\\ x+acosx，x＜0\end{array}\right.（a∈R）$，若其在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，
∴f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e}^{x}-2a，x≥0\\ 1-asinx，x＜0\end{array}\right.$滿足f′（x）≥0恒成立，且分段處左段函數(shù)值不大于右段函數(shù)值；
∴$\left\{\begin{array}{l}2a≤1\\ \left|a\right|≤1\\ 1-2a≥a\end{array}\right.$，
解得：a∈$[-1，\frac{1}{3}]$，
故答案為：$[-1，\frac{1}{3}]$

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的單調(diào)性，正確理解分段函數(shù)單調(diào)性的意義，是解答的關(guān)鍵．