Question

10．已知函數(shù)f（x）=ae^x-x-1，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若曲線f（x）恒在直線y=x+1的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題即為a＞$\frac{2（x+1）}{{e}^{x}}$對?x∈R恒成立，令g（x）=$\frac{2（x+1）}{{e}^{x}}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=ae^x-1，
①a≤0時(shí)，ae^x-1＜0恒成立，
故f（x）在R遞增；
②a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞ln$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：x＜ln$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（-∞，ln$\frac{1}{a}$）遞減，在（ln$\frac{1}{a}$，+∞）遞增；
（2）由題意得：ae^x-x-1＞x+1對?x∈R恒成立，
即a＞$\frac{2（x+1）}{{e}^{x}}$對?x∈R恒成立，
令g（x）=$\frac{2（x+1）}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{-2x}{{e}^{x}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＜0，令g′（x）＜0，解得：x＞0，
∴g（x）在（-∞，0）遞增，在（0，+∞）遞減，
∴g（x）_max=g（0）=2，
故a＞2．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．