Question

2．求下列函數(shù)的值域：
（1）y=$\frac{3x+1}{x-2}$；
（2）y=$\frac{5}{2{x}^{2}-4x+3}$；
（3）y=x+4$\sqrt{1-x}$；
（4）y=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$（x＞1）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì)，利用分子常數(shù)化進(jìn)行求解．
（2）分母進(jìn)行平方，利用一元二次函數(shù)以及分式函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，
（3）利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)進(jìn)行求解．
（4）利用分式的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式的應(yīng)用進(jìn)行求解．

解答 解：（1）y=$\frac{3x+1}{x-2}$=$\frac{3（x-2）+7}{x-2}$=3+$\frac{7}{x-2}$，則y≠3，
即函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，3）∪（3，+∞）；
（2）y=$\frac{5}{2{x}^{2}-4x+3}$=$\frac{5}{2（x-1）^{2}+1}$，
∵2（x-1）²+1≥1，∴$\frac{5}{2（x-1）^{2}+1}$∈（0，5]，即函數(shù)的值域?yàn)椋?，5]；
（3）由1-x≥0得x≤1，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，1]，
設(shè)t=$\sqrt{1-x}$，則x=1-t²，t≥0，
則y=x+4$\sqrt{1-x}$=1-t²+4t=-（t-2）²+5，
∵t≥0，∴y≤5，即函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，5]
（4）y=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$=$\frac{（x-1）^{2}+2（x-1）+1}{x-1}$=x-1+$\frac{1}{x-1}$+2，
∵x＞1，∴x-1＞0，
則y=x-1+$\frac{1}{x-1}$+2≥2+2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$=2+2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)x-1=$\frac{1}{x-1}$，解集x-1=1，x=2時(shí)，取等號(hào)，
故函數(shù)的值域?yàn)閇4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值域的求解，涉及幾種常見求函數(shù)值域的方法．要求根據(jù)不同的條件選擇合適的方法．