Question

1．已知a＞0，b＞0，函數(shù)f（x）=|x-a|+|x+b|的最小值為2．
（Ⅰ）求a+b的值；
（Ⅱ）證明：a²+a＞2與b²+b＞2不可能同時(shí)成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a＞0，b＞0，得到f（x）=|x-a|+|x+b|≥a+b，由此能求出a+b的值．
（Ⅱ）推導(dǎo)出ab≤1．假設(shè)a²+a＞2與b²+b＞2同時(shí)成立，則ab＞1，這與ab≤1矛盾，從而a²+a＞2與b²+b＞2不可能同時(shí)成立．

解答 解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，
∴f（x）=|x-a|+|x+b|≥|（x-a）-（x+b）|=|-a-b|=|a+b|=a+b，
∴f（x）_min=a+b．
由題設(shè)條件知f（x）_min=2，
∴a+b=2．…5分
證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）及基本不等式，得2$\sqrt{ab}$≤a+b=2，∴ab≤1．
假設(shè)a²+a＞2與b²+b＞2同時(shí)成立，
則由a²+a＞2及a＞0，得a＞1．
同理b＞1，∴ab＞1，這與ab≤1矛盾．
故a²+a＞2與b²+b＞2不可能同時(shí)成立．…10分．

點(diǎn)評 本題考查兩數(shù)和的求法，考查兩個(gè)不等式不可能同時(shí)成立的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意含絕對值不等式的性質(zhì)的合理運(yùn)用．