Question

5．平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)訄AM過點(diǎn)F（1，0）且與直線x=-1相切．
（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)P為曲線C上一點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)P處的切線交y軸于點(diǎn)A，若△PAF外接圓面積為4π，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的定義和題設(shè)中的條件可知點(diǎn)M是以F（1，0）為焦點(diǎn)，以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p=2，進(jìn)而求得拋物線方程；
（2）求出切線方程，可得A的坐標(biāo)，證明PF為△PAF外接圓的直徑，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由已知，點(diǎn)M到直線x=-1的距離等于到點(diǎn)（1，0）的距離，
∴點(diǎn)M是以F（1，0）為焦點(diǎn)，以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p=2，
∴點(diǎn)M的軌跡方程為y²=4x；
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），則y′=$\frac{2}{y}$，
∴曲線C在點(diǎn)P處的切線方程為y-n=$\frac{2}{n}$（x-m），
令x=0，可得y=$\frac{{n}^{2}-2m}{n}$=$\frac{2m}{n}$=$\frac{n}{2}$，
∴A（0，$\frac{n}{2}$），
∴k_AF=-$\frac{n}{2}$，
∴AF⊥PA，
∴PF為△PAF外接圓的直徑．
∵△PAF外接圓面積為4π，
∴△PAF外接圓的半徑為2，
∴|PF|=4，
∴m+1=4，
∴m=3，n=±2$\sqrt{3}$．
∴P（3，±2$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線定義、方程與性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．