Question

5．設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，4S_n=a_n²+2a_n-3．
（Ⅰ） 若a_n＞0，求數(shù)列{a_n}的通項公式； 
（Ⅱ） 若a₁，a₂，a₃，…，a₉成等比數(shù)列，當n≥9 時，a_n＞0，求數(shù)列{a_n}的前項和為S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知數(shù)列遞推式求出首項，且得到a_n+1-a_n=2（n≥2），可得數(shù)列{a_n}是以3為首項，以2為公差的等差數(shù)列，則數(shù)列{a_n}的通項公式可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，結(jié)合已知可得，當n≥9時，a₉，a₁₀，…，a_n成等差數(shù)列，首項a₉=3，公差d=2．又a₁，a₂，a₃，…，a₉成等比數(shù)列，可得a_n+1+a_n=0（n≤8），q=-1．然后分類數(shù)列{a_n}的前項和為S_n．

解答 解：（Ⅰ）由4S_n=a_n²+2a_n-3，①
得4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1-3，②
②-①得：$4{a}_{n+1}={{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}+2{a}_{n+1}-2{a}_{n}$，
整理得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=2（n≥2）．
當n=1時，4S₁=a₁²+2a₁-3，即${{a}_{1}}^{2}-2{a}_{1}-3=0$，
解得a₁=3（a_n＞0）．
∴數(shù)列{a_n}是以3為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
則a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，
∵當n≥9 時，a_n＞0，
∴當n≥9時，a_n+1-a_n=2，
即當n≥9時，a₉，a₁₀，…，a_n成等差數(shù)列，首項a₉=3，公差d=2．
于是S_n=S₈+a₉+a₁₀+…+a_n=${S}_{8}+\frac{（n-8）[3+3+2（n-9）]}{2}={S}_{8}+{n}^{2}-14n+48$．
當n=1時，4S₁=a₁²+2a₁-3，即${{a}_{1}}^{2}-2{a}_{1}-3=0$，
又a₁，a₂，a₃，…，a₉成等比數(shù)列，
∴a_n+1+a_n=0（n≤8），q=-1．
而a₉＞0，∴a₁=3．
當1≤n≤8時，${S}_{n}=\frac{3[1-（-1）^{n}]}{1-（-1）}=\frac{3}{2}[1-（-1）^{n}]$．
∴${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}[1-（-1）^{n}]，（1≤n≤8）}\\{{n}^{2}-14n+48，（n≥9）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查等差關(guān)系與等比關(guān)系的確定，訓練了數(shù)列前n項和的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．