Question

【題目】已知拋物線，過其焦點作兩條相互垂直且不平行于坐標軸的直線，它們分別交拋物線于點、和點、，線段、的中點分別為、.

（Ⅰ）求線段的中點的軌跡方程；

（Ⅱ）求面積的最小值；

（Ⅲ）過、的直線是否過定點?若是，求出定點坐標，若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4；（Ⅲ）直線恒過定點.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要求軌跡方程，而且拋物線的弦中點軌跡方程，可設(shè)中點，弦兩端點為，，由點差法得直線斜率，又此斜率為，兩者相等可得軌跡方程；為了（Ⅱ）的需要，設(shè)方程為，代入拋物線方程后可得的一元二次方程，從而有，那么有，即把用表示，同樣把也用表示，后消去可得軌跡方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的基礎(chǔ)上，得坐標，可求得，把其中的用代替，可得得坐標，，由得的函數(shù)，可得最小值；（Ⅲ）利用（Ⅱ）中的坐標求出直線的方程（與有關(guān)），變形后發(fā)現(xiàn)其過定點，同時證明斜率不存在時也過這個定點．

試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)條件得焦點坐標為，

設(shè)直線的方程為,.

聯(lián)立，得.

.

設(shè)，，則，

，∴.

∴線段的中點的軌跡方程為：.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：.

同理，設(shè)，則.

∴,

，

因此.

當且僅當，即時，取到最小值4.

（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）知直線的斜率為：，

所以直線的方程為: ,即，（*）

當，時方程（*）對任意的均成立，即直線過點.

當時，直線的方程為：，也過點.

所以直線恒過定點.