Question

17．在極坐標(biāo)系中，已知曲線C₁：ρ=2cosθ和曲線C₂：ρcosθ=3，以極點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求曲線C₁和曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P是曲線C₁上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作線段OP的垂線交曲線C₂于點(diǎn)Q，求線段PQ長度的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)極坐標(biāo)和普通坐標(biāo)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
（Ⅱ）設(shè)出直線PQ的參數(shù)方程，利用參數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可．

解答 解：（ I）C₁的直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+y²=1，…（2分），
C₂的直角坐標(biāo)方程為x=3；…（4分）
（ II）設(shè)曲線C₁與x軸異于原點(diǎn)的交點(diǎn)為A，
∴PQ過點(diǎn)A（2，0），
設(shè)直線PQ的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$，
代入C₁可得t²+2tcosθ=0，解得，
可知|AP|=|t₂|=|2cosθ|…（6分）
代入C₂可得2+tcosθ=3，解得${t^/}=\frac{1}{cosθ}$，
可知$|AQ|=|{t^/}|=|\frac{1}{cosθ}|$                     …（8分）
所以PQ=$|AP|+|AQ|=|2cosθ|+|\frac{1}{cosθ}|≥2\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$|2cosθ|=|\frac{1}{cosθ}|$時(shí)取等號(hào)，
所以線段PQ長度的最小值為$2\sqrt{2}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查極坐標(biāo)方程和普通坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力．