Question

9．如圖，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，G為AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)G任作一直線MN分別交AB、AC于M、N兩點(diǎn)．若$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=y$\overrightarrow{AC}$，則$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=4．

Answer 1

分析 根據(jù)圖形得$\overrightarrow{MG}$=$\overrightarrow{AG}$-$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{1}{4}$-x）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{GN}$=$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AG}$=y$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+（y-$\frac{1}{4}$）$\overrightarrow{AC}$，利用共線向量的條件得出（$\frac{1}{4}$-x）（y-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{16}$=0，化簡即可得出$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的值即可．

解答 解：根據(jù)題意得出，
△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，G為AD的中點(diǎn)，
過點(diǎn)G任作一直線MN，分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，
若$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=y$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∴$\overrightarrow{MG}$=$\overrightarrow{AG}$-$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{1}{4}$-x）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$，
$\overrightarrow{GN}$=$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AG}$=y$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+（y-$\frac{1}{4}$）$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{MG}$∥$\overrightarrow{GN}$，
∴（$\frac{1}{4}$-x）（y-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{16}$=0，
即$\frac{1}{4}$（x+y）-xy=0，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=4，
故答案為：4．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義，向量的共線定理，及三角形的重心，其中根據(jù)$\overrightarrow{MG}$與$\overrightarrow{NG}$共線，根據(jù)共線向量基本定理，進(jìn)而得到x，y的關(guān)系式，是解答本題的關(guān)鍵．