Question

12．函數(shù)f（x）=x²+2（a+2）x+4lnx的圖象上是否存在兩點A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）使f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$成立？若存在，請求出x₀的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 利用兩點連線的斜率公式求出k并且化簡kf′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），求出f′（x₀）列出方程，通過換元構(gòu)造新函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，得到矛盾．

解答 解：假設(shè)存在，不妨設(shè)0＜x₁＜x₂．線段AB的中點的橫坐標為x₀，
y₁-y₂=f（x₁）-f（x₂）=x₁²+2（a+2）x₁+4lnx₁-x₂²-2（a+2）x₂-4lnx₂
=（x₁-x₂）（x₁+x₂+2a+4）+4（lnx₁-lnx₂），
k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=2x₀+2a+4+4•$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
f′（x）=2x+2（a+2）+$\frac{4}{x}$，f′（x₀）=2x₀+2（a+2）+$\frac{4}{{x}_{0}}$，
若k=f′（x₀），$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
∴$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{2\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$，（*）
令$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=t，（0＜t＜1），g（t）=lnt-$\frac{2t-2}{t+1}$，
g′（t）=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$＞0．
可得g（t）在0＜t＜1上是增函數(shù)，
∴g（t）＜g（1）=0，
∴（*）式不成立，與假設(shè)矛盾．
∴k≠f′（x₀）．
因此，滿足條件的x₀不存在．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用，求函利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題．