【題目】已知函數(shù).

(1)求曲線在點處的切線方程;

(2)證明:當(dāng)時,曲線恒在曲線的下方;

(3)當(dāng)時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1);(2)證明見解析;(3).

【解析】

(1)求出,求出的值可得切點坐標(biāo),求出的值,可得切線斜率,利用點斜式可得曲線在點處的切線方程;(2)要使得當(dāng)時,曲線恒在曲線的下方,即需證,不妨設(shè), ,利用導(dǎo)數(shù)證明取得最大值即可得結(jié)果;(3)由題意可知,可得不等式可轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù)分類討論,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可證明的最大值小于零,從而可得結(jié)論.

(1),,

故切線方程是.

(2)要使得當(dāng)時,曲線恒在曲線的下方

即需證,

不妨設(shè),

,

恒成立,^

單調(diào)遞減,v

時,;當(dāng)時,,

上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

即當(dāng)時,取得最大值,

當(dāng)時,,,

當(dāng)時,曲線恒在曲線的下方

(3)由題意可知,

不等式可轉(zhuǎn)化為

構(gòu)造函數(shù),

,

在二次函數(shù)中,開口向下,對稱軸,

且過定點,解得,

(舍去),.

①當(dāng)時,即 (舍去)或,

此時當(dāng)時,; ,;

當(dāng)時,取得最大值,

記為,

,

,

當(dāng)時,,上遞減,

當(dāng)時,,上遞增,

處取得最小值

只有符合條件,此時解得不合條件,舍去;

②當(dāng)時,解得

當(dāng)時,時取得最大值,

即當(dāng)時,恒成立,原不等式恒成立;

③當(dāng)時,解得,

當(dāng),,

時取得最大值,記為

(2)可知的圖象與的圖象相同,

當(dāng)時,原不等式恒成立;

綜上所述,實數(shù)的取值范圍是.

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