Question

【題目】已知圓經(jīng)過點(diǎn)、，并且直線平分圓.

（1）求圓的方程；

（2）若過點(diǎn)，且斜率為的直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、.

（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（ii）若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）；（ii）.

【解析】

（1）求出線段的垂直平分線方程，將線段的垂直平分線方程與直線的方程聯(lián)立，可圓心的坐標(biāo)，求出半徑，即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）（i）將直線的方程表示出來，利用圓心到直線的距離小于半徑得出的不等式，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（ii）設(shè)點(diǎn)、，令，可得出直線的方程為，將直線的方程與圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，將韋達(dá)定理代入，可求出的值，進(jìn)而可得出的值.

（1）線段的中點(diǎn)，直線的斜率為，

故線段的中垂線方程為，即.

因?yàn)閳A經(jīng)過、兩點(diǎn)，故圓心在線段的中垂線上.

又因?yàn)橹本�平分圓，所以直線經(jīng)過圓心.

聯(lián)立，解得，即圓心的坐標(biāo)為，而圓的半徑，

所以圓的方程為：；

（2）直線的方程為，即，

圓心到直線的距離.

（i）題意得，兩邊平方整理得，解得或.

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為：；

（ⅱ）令，則直線的方程可寫成.

將直線的方程與圓的方程組成方程組得，

將①代入②得：，

設(shè)、，則由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，

而，

所以，

整理得，解得，則.

，舍去.

綜上所述，.