Question

已知函數(shù)f（x）=（ax+3）e^x（a≠0），其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）若函數(shù)圖象在x=0處的切線方程為2x+y-3=0，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=

1

2

x-lnx+t，當(dāng)a=-1時(shí)，存在x∈（0，+∞）使得f（x）≤g（x）成立，求t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=（ax+3+a）e^x，從而由題意得f′（0）=（3+a）e⁰=-2；從而求a；
（2）由導(dǎo)數(shù)f′（x）=（ax+3+a）e^x的正負(fù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=（-x+3）e^x，從而化f（x）≤g（x）為t≥（-x+3）e^x-

1

2

x+lnx；令F（x）=（-x+3）e^x-

1

2

x+lnx，從而化為函數(shù)的最值問題．

解答： 解：（1）∵f（x）=（ax+3）e^x，
∴f′（x）=（ax+3+a）e^x，
又∵函數(shù)圖象在x=0處的切線方程為2x+y-3=0，
∴f′（0）=（3+a）e⁰=-2；
解得，a=-5；
（2）∵f′（x）=（ax+3+a）e^x，
∴①當(dāng)a＞0時(shí)，解f′（x）＞0得，x＞-

3+a

a

；
故函數(shù)f（x）在（-∞，-

3+a

a

）上是減函數(shù)，在（-

3+a

a

，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)a＜0時(shí)，解f′（x）＞0得，x＜-

3+a

a

；
故函數(shù)f（x）在（-∞，-

3+a

a

）上是增函數(shù)，在（-

3+a

a

，+∞）上是減函數(shù)；
（3）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=（-x+3）e^x，
f（x）≤g（x）可化為t≥（-x+3）e^x-

1

2

x+lnx；
令F（x）=（-x+3）e^x-

1

2

x+lnx，
則F′（x）=（-x+2）e^x+

1

2x

（2-x）=（2-x）（e^x+

1

2x

）；
故F（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減，
且當(dāng)x→+∞時(shí)，F(xiàn)（x）→-∞；
故對(duì)任意t，都存在x∈（0，+∞）使得f（x）≤g（x）成立，
故t∈R．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及存在性問題的處理方法應(yīng)用，屬于中檔題．