Question

14．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+3，x∈[-2，2]
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（2）記f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值．
（2）借助于函數(shù)的圖象研究單調(diào)性，確定最小值，主要是從開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的關(guān)系來(lái)確定函數(shù)的最小值．

解答 解：（1）a=-1時(shí)，f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2
∵對(duì)稱(chēng)軸x=1∈[-2，2]，
∴f（x）_min=f（1）=2，f（x）_max=f（-2）=11，
（2）f（x）=x²+2ax+3=（x+a）²+3-a²，
∴該函數(shù)在區(qū)間（-∞，-a]上遞減，在[-a，+∞）上遞增，
①當(dāng)-a＜2，即a＞2時(shí)，f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞增，故g（a）=f（-2）=7-4a；
②當(dāng)-2≤a≤2時(shí)，f（x）在[-2，-a]上遞減，在[-a，2]上遞增，∴g（a）=f（2）=3-a²；
③當(dāng)-a＞2，即a＜-2時(shí)，f（x）在[-2，2]上遞減，∴g（a）=f（2）=7+4a，
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{7+4a，a＜-2}\\{3-{a}^{2}，-2≤a≤2}\\{7-4a，a＞2}\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問(wèn)題，利用對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的關(guān)系討論單調(diào)性，再求最值．